Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙O半徑為1，且與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C分別作⊙O的切線MA、NC，它們分別與直線y=x交于點(diǎn)M、N。
（1）寫(xiě)出點(diǎn)M、D、N的坐標(biāo)；
（2）拋物線過(guò)點(diǎn)M、D、N，它的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，連接DE，并延長(zhǎng)DE交圓O于F，求cos∠BDF的值與EF的長(zhǎng)；
（3）探索：將⊙O作怎樣的平移，才能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上。

Answer 1

解：（1）M（-1，-1）、N（1，1）、D（0，1）；
（2）設(shè)拋物線的解析式為， ∵點(diǎn)D、M、N在拋物線上， ∴得： 解之，得： ∴拋物線的解析式為：， ∵ ∴ 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為， ∴， 連結(jié)， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在直角三角形DOE中， cos∠BDF=；
（3）∵⊙O半徑為1，平移后的⊙O要與x軸相切且它的圓心O在拋物線上， ∴平移后的圓心O必在平行于x軸且到x軸的距離為1的直線與拋物線的交點(diǎn)上， 當(dāng)平移后的圓心O在x軸的上方時(shí)，可設(shè)平移后的圓心O′的坐標(biāo)為（m，1）， 則， 解得，， ∴O′的坐標(biāo)為（0，1）或（1，1）， 當(dāng)平移后的圓心O在x軸的下方時(shí)，可設(shè)平移后的圓心O′′的坐標(biāo)為（n，-1）， 則， 解得，， ∴O′′的坐標(biāo)為（-1，-1）或（2，-1）， ① 將⊙O沿著y軸的正方向平移1個(gè)單位，能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上； ② 將⊙O沿著y軸的正方向平移1個(gè)單位后，再沿著x軸的正方向平移1個(gè)單位（或?qū)ⅰ袿沿著直線y=x的向上方向平移個(gè)單位），能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上； ③ 將⊙O沿著y軸的負(fù)方向平移1個(gè)單位后，再沿著x軸的負(fù)方向平移1個(gè)單位，（或?qū)ⅰ袿沿著直線y=x的向下方向平移個(gè)單位）能使⊙O與x軸相切且它的圓心在拋物線上； ④將⊙O沿著y軸的負(fù)方向平移1個(gè)單位后，再沿著x軸的正方向平移2個(gè)單位，（或?qū)ⅰ袿沿著直線的向下方向平移個(gè)單位）能使⊙O與x軸相切且它的圓心O在拋物線上。