Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，過A點作AT⊥FD，寫出BD-CD與AT之間的數(shù)量關系并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：在BD上截取BF=CD，連接AD，求出∠ACD=∠ABF，求出三角形ABF和三角形ACD全等，推出AF=AD，求出三角形FAD是等腰直角三角形，即可得出答案．

解答：答：AT=

1

2

（BD-CD），
證明：在BD上截取BF=CD，連接AD，
∵CD⊥BD，
∴∠CDE=∠BAE=90°，
∵∠AEB=∠DEC，∠ABF+∠AEB+∠BAE=180°，∠DCE+∠DEC+∠CDE=180°，
∴∠ABF=∠DCE，
在△ABF和△ACD中，

AB=AC ∠ABF=∠ACD BF=CD

，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，∠BAF=∠DAC，
∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠DAC+∠FAE=∠FAD=90°，
即△FAD是等腰直角三角形，
∵AT⊥DF，
∴FT=TD，
∴AT=

1

2

DF=

1

2

（BD-CD）．

點評：本題考查了等腰直角三角形性質，全等三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出三角形FAD是等腰直角三角形，題目比較好，有一定的難度．