Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），∠BAO=30°．
（1）求AB的長度；
（2）以AB為一邊作等邊△ABE，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點(diǎn)D．求證：BD=OE；
（3）在（2）的條件下，連接DE交AB于F．求證：F為DE的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）直接運(yùn)用直角三角形30°角的性質(zhì)即可．
（2）連接OD，易證△ADO為等邊三角形，再證△ABD≌△AEO即可．
（3）作EH⊥AB于H，先證△ABO≌△AEH，得AO=EH，再證△AFD≌△EFH即可．

解答：（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2；

（2）證明：連接OD，
∵△ABE為等邊三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點(diǎn)D，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO為等邊三角形．
∴DA=AO．
在△ABD與△AEO中，
∵

AB=AE ∠EAO=∠NAB DA=AO

，
∴△ABD≌△AEO（SAS）．
∴BD=OE．

（3）證明：作EH⊥AB于H．
∵AE=BE，∴AH=

1

2

AB，
∵BO=

1

2

AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH與Rt△BAO中，

AH=BO AE=AB

，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD．
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE與△AFD中，

∠EHF=∠DAF ∠EFH=∠DFA EH=AD

，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF．
∴F為DE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形與等邊三角形的巧妙結(jié)合，來證明角相等和線段相等．