Question

（1）如圖①所示，已知C是線段AB上一點，分別以AC、BC為邊長在AB的同側作等邊△ADC和△CBE，連接AE和DB，證明：AE=DB；
（2）如圖②所示，當等邊△CBE繞點C旋轉后，證明AE=DB仍成立；
（3）在圖①中，設CD交AE于點M，CE交BD于N，則△CMN也是等邊三角形，請證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）AE=BD，理由為：由三角形ACD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到AC=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE=60°，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到△ACE≌△DCB，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）結論仍然成立，理由為：由三角形ACD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到AC=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE=60°，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到△ACE≌△DCB，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（3）根據（1）中求得△ACE≌△DCB，可得∠BDC=∠EAC，然后有∠ACD=∠BCE=60°，得出∠DCN=60°，AC=DC，可證明△DCN≌△ACM，得出CN=CM，最后即可證明△CMN也是等邊三角形．

解答：解：（1）AE=BD，理由為：
∵△ACD與△BCE都為等邊三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

（2）結論仍然成立，即AE=BD，理由為：
∵△ACD與△BCE都為等邊三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

（3）∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCN=180°-60°-60°=60°，
在△DCN和△ACM中，

∠NDC=∠MAC DC=AC ∠DCN=∠ACM=60°

，
∴△DCN≌△ACM（ASA），
∴CN=CM，
∵∠DCN=60°，
即△CMN是等邊三角形．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．