Question

已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C。
（1）求拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)， ∴， 解得：， ∴； ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）；
（2）當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90°， ∵A（3，0），B（4，1）， ∴AM=BM=1， ∴∠BAM=45°， ∴∠DAO=45°， ∴AO=DO， ∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）， ∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3）， ∴直線AD解析式為：y=kx+b， 將A，D分別代入得： ∴0=3k+b，b=3， ∴k=-1， ∴y=-x+3， ∴=-x+3， ∴x2-3x=0， 解得：x=0或3， ∴y=3或0（不合題意舍去）， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）， 當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90°， 由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°， ∴∠DBF=45°，∴DF=4， ∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，5），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1）， ∴直線AD解析式為：y=kx+b， 將B，D分別代入得： ∴1=4k+b，b=5， ∴k=-1， ∴y=-x+5， ∴=-x+5， ∴x2-3x-4=0， 解得：x1=-1，x2=4， ∴y1=6，y2=1， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，6），（4，-1）， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1，6），（4，-1），（0，3）；
（3）作EM⊥BO， ∵當(dāng)OE∥AB時，△FEO面積最小， ∴∠EOM=45°， ∴MO=EM， ∵E在直線CA上， ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x+3）， ∴x=-x+3，解得：x=， ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。