Question

（2013•齊齊哈爾）正方形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是射線AB上一點，點F是直線AD上一點，BE=DF，連接EF交線段BD于點G，交AO于點H．若AB=3，AG=

5

，則線段EH的長為

2

3

5

或

4

3

5

．

Answer 1

分析：由EF與線段BD相交，可知點E、F位于直線BD的兩側(cè)，因此有兩種情形，需要分類討論．
以答圖1為例，首先證明△EMG≌△FDG，得到點G為Rt△AEF斜邊上的中點，則求出EF=2AG=2

5

；其次，在Rt△AEF中，利用勾股定理求出BE或DF的長度；然后在Rt△DFK中解直角三角形求出DK的長度，從而得到CK的長度，由AB∥CD，列比例式求出AH的長度；最后作HN∥AE，列出比例式求出EH的長度．

解答：解：由EF與線段BD相交，可知點E、F位于直線BD的兩側(cè)，因此有兩種情形，如下：
①點E在線段AB上，點F在線段AD延長線上，依題意畫出圖形，如答圖1所示：
過點E作EM⊥AB，交BD于點M，則EM∥AF，△BEM為等腰直角三角形，
∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F；
∵△BEM為等腰直角三角形，∴EM=BE，∵BE=DF，∴EM=DF．
在△EMG與△FDG中，

∠EMG=∠FDG EM=DF ∠GEM=∠F

∴△EMG≌△FDG（ASA），
∴EG=FG，即G為EF的中點，
∴EF=2AG=2

5

．（直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半）

設(shè)BE=DF=x，則AE=3-x，AF=3+x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3-x）²+（3+x）²=（2

5

）²，
解得x=1，即BE=DF=1，
∴AE=2，AF=4，
∴tan∠F=

1

2

．
設(shè)EF與CD交于點K，則在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=

1

2

，
∴CK=CD-DK=

5

2

．
∵AB∥CD，∴

AH

CH

=

AE

CK

=

2

5 2

=

4

5

，
∵AC=AH+CH=3

2

，∴AH=

4

9

AC=

4

3

2

．
過點H作HN∥AE，交AD于點N，則△ANH為等腰直角三角形，∴AN=

2

2

AH=

4

3

．
∵HN∥AE，∴

EH

EF

=

AN

AF

，即

EH

2 5

=

4 3

4

，
∴EH=

2

3

5

；
②點E在線段AB的延長線上，點F在線段AD上，依題意畫出圖形，如答圖2所示：

同理可求得：EH=

4

3

5

．
綜上所述，線段EH的長為

2

3

5

或

4

3

5

．
故答案為：

2

3

5

或

4

3

5

．

點評：本題是幾何綜合題，考查相似三角形的綜合運用，難度較大．解題關(guān)鍵是：第一，讀懂題意，由EF與線段BD相交，可知點E、F位于直線BD的兩側(cè)，因此有兩種情形，需要分類討論，分別計算；第二，相似三角形比較多，需要理清頭緒；第三，需要綜合運用相似三角形、全等三角形、正方形、勾股定理、等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)．