Question

（1）如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則有相等關(guān)系DE=DF，AE=AF．
（2）如圖2，在（1）的情況下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的兩邊分別與AB、AC相交于M、N兩點(diǎn)，其它條件不變，那么又有相等關(guān)系A(chǔ)M+

 

=2AF，請(qǐng)加以證明．
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四邊形AMDN的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，然后利用“角角邊”證明△ADE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）由（1）得DE=DF，再求出∠MDE=∠NDF，然后利用“角邊角”證明△MDE和△NDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ME=NF，然后求AM+AN=AE+AF，再求解即可；
（3）根據(jù)（2）求出AM+AN=2AC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD=∠CAD=30°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADN=∠BAD=30°，從而得到∠CAD=∠ADN，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得AN=DN，根據(jù)直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得DN=2CN，然后求出DN，

解答：（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△ADE和△ADF中，

∠BAD=∠CAD ∠AED=∠AFD=90° AD=AD

，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE=DF，AE=AF；

（2）解：AM+AN=2AF；
證明如下：由（1）得DE=DF，
∵∠MDN=∠EDF，
∴∠MDE=∠NDF，
在△MDE和△NDF中，

∠MDE=∠NDF DE=DF ∠DEM=∠DFN=90°

，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME=NF，
∴AM+AN=（AE+ME）+（AF-NF）=AE+AF=2AF；

（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠ADN，
∴AN=DN，
在Rt△CDN中，DN=2CN，
∵AC=6，
∴DN=AN=

2

1+2

×6=4，
∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，
∴∠CDE=∠MDN，
∴DM=DN=4，
∴四邊形AMDN的周長(zhǎng)=12+4×2=20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)的證明，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，理解題意找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．