Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD的中點.

（1）線段AF與BE有何關系？說明理由；

（2）延長AF、BC交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上？說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）AF=BE且AF⊥BE．

證明：∵E、F分別是AD、CD的中點，

∴AE=AD，DF=CD

∴AE=DF

又∵∠BAD=∠D=90°，AB=AD

∴△ABE≌△DAF

∴AF=BE，∠AEB=∠AFD

∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD=90°

∴∠DAF+∠AEB=90°

∴∠AGE=90°

∴AF⊥BE

（2）連接CG．

∵DF=CF，∠D=∠FCH=90°，∠AFD=∠HFC

∴△ADF≌△HCF

∴BC=AD=CH=CD，

在直角△BGH中，BC=CH，

∴GC=BH

∴CB=CG=CD=CH，

∴B，G，D，H在以C為圓心、BC長為半徑的圓上．

【解析】（1）證明△ABE≌△DAF，證據(jù)全等三角形的對應邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明AF相等且互相垂直；

（2）證明△ADF≌△HCF，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得B，C，D，H四點到C的距離相等，即可證得四點共圓．