Question

17．閱讀材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰的值．
解：設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰，將等式兩邊同時乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²¹
將下式減去上式得2S-S=2²¹-1
即S=2²¹-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰=2²¹-1
請你仿照此法計算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶
（2）1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ（其中n為正整數）
（3）1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ（其中n為正整數）

Answer 1

分析 （1）設原式=S，兩邊乘以2變形得到關系式，兩式相減即可求出S；
（2）設原式=S，兩邊乘以2變形得到關系式，兩式相減即可求出S；
（3）設原式=S，兩邊乘以5變形得到關系式，兩式相減即可求出S．

解答 解：（1）設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶，
兩邊乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷，
下式減去上式得：S=2²⁰¹⁷-1；                          

（2）設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ
兩邊乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹，
下式減去上式得：S=2ⁿ⁺¹-1；                            

（3）設S=1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ，
兩邊乘以5得：5S=5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ⁺¹，
下式減去上式得：4S=5ⁿ⁺¹-1，即S=$\frac{{5}^{n+1}-1}{4}$，
則1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ=$\frac{{5}^{n+1}-1}{4}$．

點評 本題考查數字的變化類，解題的關鍵是明確題意，找出數字的變化特點．