Question

如圖所示，已知⊙O的直徑AB=1，延長AB到C，使BC=AB，過C作⊙O的切線CD，D為切點，連接AD、BD．求：
（1）CD的長；
（2）AD：BD的值；
（3）△ABD的面積．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DC，由于BC=AB=1得到OD=

1

2

，OC=

3

2

，然后根據(jù)勾股定理可計算出DC=

2

；
（2）由AB為直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠OBD=90°，又∠CDB+∠ODB=90°，而∠ODB=∠OBD，可得到∠CDB=∠A，根據(jù)三角形相似的判定方法得到△CDB∽△CAD，則DB：DA=CD：CA=

2

：2，即可得到AD：BD的值；
（3）利用AD：BD的值可設(shè)DB=x，則AD=

2

x，在Rt△ADB中，利用勾股定理得到（

2

x）²+x²=1，解得x=

3

3

，則DB=

3

3

，AD=

6

3

，然后根據(jù)三角形面積公式可計算出△ABD的面積．

解答：解：（1）連結(jié)OD，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴OD⊥DC，
∵BC=AB=1，
∴OD=

1

2

，OC=

3

2

，
在Rt△ODC中，DC=

OC2-OD2

=

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

；

（2）∵∠CDB+∠ODB=90°，
而∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB+∠OBD=90°，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°，
∴∠CDB=∠A，
而∠C公共，
∴△CDB∽△CAD，
∴DB：DA=CD：CA=

2

：2，
∴AD：BD=2：

2

=

2

：1；

（3）設(shè)DB=x，則AD=

2

x，
在Rt△ADB中，AB=1，
∵AD²+DB²=AB²，
∴（

2

x）²+x²=1，
解得x=

3

3

，
∴DB=

3

3

，AD=

6

3

，
∴△ABD的面積=

1

2

×DB×AD=

1

2

×

3

3

×

6

3

=

2

6

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．