Question

20．如圖，在△ABC中（AB＞AC），AD是BC邊上的高，E、F、G分別是BC、AB、AC三邊的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形DEFG為等腰梯形；
（2）連接EG和FD，∠FDG和∠GEF相等嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中位線的性質(zhì)得到四邊形EFDG是梯形．又因?yàn)锳D⊥BC，所以DG=$\frac{1}{2}$AC即EF=DG，那么推出四邊形EFDG為等腰梯形；
（2）證明△DFG≌△EGF，即可得出，∠FDG和∠GEF相等．

解答 解：（1）證明：∵F、E、G分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，
根據(jù)三角形中位線定理，得EF=$\frac{1}{2}$AC．
FG∥BC，EF∥AC，
∴四邊形EFCG為平行四邊形，
∴FG=EC，
又∵DE＜EC，F(xiàn)G∥ED，
∴ED＜FG．
∴四邊形DEFG是梯形，
又∵AD⊥BC，G為AC邊的中點(diǎn)，
∴DG是Rt△ACD斜邊的中線，
∴DG=$\frac{1}{2}$AC．
∴EF=DG．
∴四邊形DEFG為等腰梯形；
（2）∠FDG和∠GEF相等，理由是：
∵四邊形DEFG為等腰梯形，
∴∠DGF=∠EFG，DG=EF，
在△DFG和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=EF}\\{∠DGF=∠EFG}\\{GF=FG}\end{array}\right.$，
∴△DFG≌△EGF（SAS），
∴∠FDG=∠GEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰梯形的判定、中位線的性質(zhì)以及全等三角形的判定，掌握等腰梯形的性質(zhì)：同一底上的兩個(gè)角相等是證明全等的關(guān)鍵．