Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，

∠DCB＝30°.點E、F同時從B點出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動.已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設E點移動距離為x（x＞0）.

⑴△EFG的邊長是___________ （用含有x的代數(shù)式表示），當x＝2時，點G的位置在_______；

⑵若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求

①當0＜x≤2時，y與x之間的函數(shù)關系式；

②當2＜x≤6時，y與x之間的函數(shù)關系式；

⑶探求⑵中得到的函數(shù)y在x取含何值時，存在最大值，并求出最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1)2；（2）①y=，②分兩種情況：Ⅰ．當2＜x＜3時，y=,

Ⅱ．當3≤x≤6時，y=x²−；(3)當 x=時，y_最大=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的三邊相等，則△EFG的邊長是點E移動的距離；根據(jù)等邊三角形的三線合一和F點移動速度是E點移動速度的2倍，即可分析出BF=4，此時等邊三角形的邊長是2，則點G和點D重合；

（2）①當0＜x≤2時，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；

②當2＜x≤6時，分兩種情況：當2＜x＜3時和當3≤x≤6時，進行計算；

（3）分別求得（2）中每一種情況的最大值，再進一步比較取其中的最大值即可．

試題解析：

解：（1）∵點E、F同時從B點出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動，且F點移動速度是E點移動速度的2倍，

∴BF=2BE=2x，

∴EF=BF-BE=2x-x=x，

∴△EFG的邊長是x；

過D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，連接DE、DF．

在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，

∴DH=CH•tan30°=3×=．

當x=2時，BE=EF=2，

∵△EFG是等邊三角形，且DH⊥BC交點H，

∴EH=HF=1.

∴DE=DF==2，

∴△DEF是等邊三角形，

∴點G的位置在D點．

（2）①當0＜x≤2時，△EFG在梯形ABCD內部，所以y=；

②分兩種情況：

Ⅰ．當2＜x＜3時，如圖1，點E、點F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．

∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，

∴GM=（3x-6），

由勾股定理得：MN=（3x-6），

∴S_△GMN=×GM×MN=×（3x-6）×（3x-6）=（3x-6）²，

所以，此時y=-（3x-6）²=；

Ⅱ．當3≤x≤6時，如圖2，點E在線段BC上，點F在射線CH上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，

∵EC=6-x，

∴y=（6-x）²=x²−；

（3）當0＜x≤2時，

∵y=x²，在x＞0時，y隨x增大而增大，

∴x=2時，y_最大=；

當2＜x＜3時，∵y=，在x=時，y_最大=；

當3≤x≤6時，∵y=x²−；，在x＜6時，y隨x增大而減小，

∴x=3時，y_最大=．

綜上所述：當 x=時，y_最大=．

考點：1.二次函數(shù)的最值；2.梯形.