Question

19．如圖1，等邊△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，點G和點F在⊙O上且位于點A的兩側(cè)，連接BF、CG交于點E，且BF=CG
（1）求證：∠BEC=120°；
（2）如圖2，取BC邊中點D，連接AE、DE，求證：AE=2DE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點A作⊙O的切線交BF的延長線于點H，若AE=AH=4，請求出⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠ACG=∠CBF，可得∠GEC=∠FBC+∠ECB=∠ACE+∠ECB=60°，即可推出∠BEC=180°-∠GEB=120°．
（2）如圖2中，連接BG、AG、CF、AF、GF，GF與AE交于點M．首先證明四邊形AGEF是平行四邊形，再證明△MFE≌△DCE即可解決問題．
（3）如圖3中，在圖（2）的基礎(chǔ)上連接OC.2△AHB∽△DEC，推出$\frac{AH}{DE}$=$\frac{BH}{EC}$=2，設(shè)BE=x，EC=EF=y，DBD=a，推出BH=2EC，推出FH=y-x，由△HAF∽△HBA，推出AH²=HF•HB，可得16=2y（y-x）   ①，由△ECD∽△BCE，推出EC²=CD•CB，可得y²=a•2a，推出a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，由$\frac{ED}{BE}$=$\frac{CE}{BC}$，可得$\frac{2}{x}$=$\frac{y}{\sqrt{2}y}$，推出x=2$\sqrt{2}$代入①中解得y=$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$（負(fù)根已經(jīng)舍棄），可得CD=a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$）=1+$\sqrt{5}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵BF=CG，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CG}$
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CF}$，
∴∠ACG=∠CBF，
∵∠GEC=∠FBC+∠ECB=∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠BEC=180°-∠GEB=120°．

（2）證明：如圖2中，連接BG、AG、CF、AF、GF，GF與AE交于點M．

∵∠BEC=120°，
∴∠FEC=∠GEB=60°，
∵∠BGE=∠BAC=60°，∠EFC=∠BAC=60°，
∴△BGE，△EFC都是等邊三角形，
∵∠AFB=∠ACB=60°，
∴∠GEB=∠AFB=60°，
∴GE∥AF，同理BF∥AG，
∴四邊形AGEF是平行四邊形，
∴GM=MF，AM=ME，
∵∠GBF=∠BAC=60°，
∴$\widehat{FG}$=$\widehat{BC}$，
∵BD=CD，
∴MF=CD，
在△MFE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=CD}\\{∠MFE=∠ECD}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△DCE，
∴ME=DE，
∴AE=2DE．
（3）解：如圖3中，在圖（2）的基礎(chǔ)上連接OC．

由（2）可知，△MFE≌△DCE，
∴∠FEM=∠CED，
∵AH=AE=4，
∴∠H=∠AEH，DE=2，
∴∠H=∠CED，
∵BG=GE=AF，
∴$\widehat{BG}$=$\widehat{AF}$，
∴∠ECD=∠ABH，
∴△AHB∽△DEC，
∴$\frac{AH}{DE}$=$\frac{BH}{EC}$=2，設(shè)BE=x，EC=EF=y，DBD=a，
∴BH=2EC，
∴FH=y-x，
∵∠HAF=∠ABH，∠H=∠H，
∴△HAF∽△HBA，
∴AH²=HF•HB，
∴16=2y（y-x）   ①
∵BD=CD，∴AD⊥BC，AD經(jīng)過點O，
∵AH是切線，
∴AH⊥AD，
∴AH∥BC，
∴∠H=∠CBE，
∴∠CED=∠CBE，∵∠ECD=∠ECB，
∴△ECD∽△BCE，
∴EC²=CD•CB，
∴y²=a•2a，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，
∵$\frac{ED}{BE}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{2}{x}$=$\frac{y}{\sqrt{2}y}$，
∴x=2$\sqrt{2}$代入①中解得y=$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$（負(fù)根已經(jīng)舍棄），
∴CD=a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$）=1+$\sqrt{5}$，
在Rt△COD中，∵∠OCD=30°，
∴cos30°=$\frac{CD}{OC}$，
∴OC=$\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程，屬于中考壓軸題．