Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：
（1）設(shè)△APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時，求t的值；′
（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出

PH

BC

=

AP

AB

，從而求出AB，再根據(jù)

PH

3

=

5-t

5

，得出PH=3-

3

5

t，則△AQP的面積為：

1

2

AQ•PH=

1

2

t（3-

3

5

t），最后進(jìn)行整理即可得出答案；
（2）連接PP′交QC于E，當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時，得出△APE∽△ABC，

AE

AC

=

AP

AB

，求出AE=-

4

5

t+4，再根據(jù)QE=AE-AQ，QE=

1

2

QC得出-

9

5

t+4=-

1

2

t+2，再求t即可；
（3）由（1）知，PE=-

3

5

t+3，與（2）同理得：QE=-

9

5

t+4，從而求出PQ=

18 5 t2-18t+25

，
在△APQ中，分三種情況討論：①當(dāng)AQ=AP，即t=5-t，②當(dāng)PQ=AQ，即

18 5 t2-18t+25

=t，③當(dāng)PQ=AP，即

18 5 t2-18t+25

=5-t，再分別計算即可．

解答：解：（1）如圖甲，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴

PH

3

=

5-t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴△AQP的面積為：
S=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×t×（3-

3

5

t）=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴當(dāng)t為

5

2

秒時，S最大值為

15

8

cm²．

（2）如圖乙，連接PP′，PP′交QC于E，
當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

AP

AB

，
∴AE=

AP•AC

AB

=

(5-t)×4

5

=-

4

5

t+4
QE=AE-AQ═-

4

5

t+4-t=-

9

5

t+4，
QE=

1

2

QC=

1

2

（4-t）=-

1

2

t+2，
∴-

9

5

t+4=-

1

2

t+2，
解得：t=

20

13

，
∵0＜

20

13

＜4，
∴當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時，t的值是

20

13

s；

（3）由（1）知，
PE=-

3

5

t+3，與（2）同理得：QE=AE-AQ=-

9

5

t+4
∴PQ=

PE2+QE2

=

(- 3 5 t+3)2+(- 9 5 t+4)2

=

18 5 t2-18t+25

，
在△APQ中，
①當(dāng)AQ=AP，即t=5-t時，解得：t₁=

5

2

；
②當(dāng)PQ=AQ，即

18 5 t2-18t+25

=t時，解得：t₂=

25

13

，t₃=5；
③當(dāng)PQ=AP，即

18 5 t2-18t+25

=5-t時，解得：t₄=0，t₅=

40

13

；
∵0＜t＜4，
∴t₃=5，t₄=0不合題意，舍去，
∴當(dāng)t為

5

2

s或

25

13

s或

40

13

s時，△APQ是等腰三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似形綜合，用到的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解答．