Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P為△ABC三條中線的交點(diǎn)，且∠BPC=90°，若AB=12，
則AC的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的重心,勾股定理

專題：

分析：延長CP交AB于點(diǎn)D，根據(jù)點(diǎn)P是為△ABC三條中線的交點(diǎn)可知CD是斜邊AB的中點(diǎn)且CP=2PD，由直角三角形的性質(zhì)得出CD的長，進(jìn)而得出PD及CP的長，再根據(jù)勾股定理即可得出BC的長，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：延長CP交AB于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)P是為△ABC三條中線的交點(diǎn)，
∴CD是斜邊AB的中點(diǎn)且CP=2PD，
∵△ABC是直角三角形且AB=12，
∴CD=BD=

1

2

AB=6，
∴PD=

1

3

×6=2，CP=

2

3

×6=4，
∵∠BPC=90°，
∴BD²-PD²=BC²-PC²，即6²-2²=BC²-4²，解得BC²=48，
在Rt△ABC中，
∵AC²+BC²=AB²，即AC²+48=12²，解得AC=4

6

．
故答案為：4

6

．

點(diǎn)評：本題考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解答此題的關(guān)鍵．