Question

如圖：拋物線y=ax²-4ax+m與x 軸交于A、B兩點，點A的坐標(biāo)是（1，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；
（2）過點C作CP⊥對稱軸于點P，連接BC交對稱軸于點D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點為G，連接BG、CG、求△BCG的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=ax²-4ax+m的對稱軸公式x=-，即可求得其對稱軸，又由點A、B關(guān)于對稱軸對稱，即可求得點B的坐標(biāo)；
（2）由點A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥對稱軸，可得CP∥AB，易證得四邊形ABPC是平行四邊形，然后設(shè)點C（0，x）（x＜0），證得△BPD∽△BCP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得x的值，又由二次函數(shù)過點A與C，利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得拋物線頂點G坐標(biāo)，然后設(shè)CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得CG的解析式，則可求得H的坐標(biāo)，又由S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC，即可求得△BCG的面積．
解答：解：（1）對稱軸是x=-=2，…（2分）
∵點A（1，0）且點A、B關(guān)于x=2對稱，
∴點B（3，0）；…（4分）

（2）點A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥對稱軸于P，
∴CP∥AB，
∵對稱軸是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四邊形ABPC是平行四邊形，…（5分）
設(shè)點C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=，
∴BP=，
在Rt△BOC中，BC=，
∵，
∴BD=，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…（7分）
∴BP²=BD•BC，
即，
∴，
∴x₁=，x₂=-，
∵點C在y軸的負(fù)半軸上，
∴點C（0，），…（8分）
∴y=ax²-4ax-，
∵過點（1，0），
∴a-4a-=0，
解得：a=-．
∴解析式是：y=-x²+x-；…（9分）

（3）當(dāng)x=2時，y=，
頂點坐標(biāo)G是（2，），…（10分）
設(shè)CG的解析式是：y=kx+b，
∵過點（0，）（2，），
∴，
∴y=x-，…（11分）
設(shè)CG與x軸的交點為H，
令y=0，則x-=0，
得x=，
即H（，0），…（11分）
∴BH=3-=，
∴S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC===…（13分）
點評：此題考查了二次函數(shù)對稱軸的求解方法，二次函數(shù)的對稱性，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的求解方法以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．