Question

8．大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，集資5萬元開品牌專賣店，已知該品牌商品成本為每件a元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元/件）之間存在一次函數(shù)關(guān)系如表：

銷售價(jià)x（元/件）	…	110	115	120	125	130	…
銷售量y（件）	…	50	45	40	35	30	…

若該店某天的銷售價(jià)定為110元/件，雇有3名員工，則當(dāng)天正好收支平衡（其中支出=商品成本+員工工資+應(yīng)支付其它費(fèi)用）：已知員工的工資為每人每天100元，每天還應(yīng)支付其它費(fèi)用為200元（不包括集資款）．
（1）求日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該店現(xiàn)有2名員工，試求每件服裝的銷售價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店每天的毛利潤(rùn)最大：（毛利潤(rùn)═銷售收入一商品成本一員工工資一應(yīng)支付其他費(fèi)用）
（3）在（2）的條件下，若每天毛利潤(rùn)全部積累用于一次性還款，而集資款每天應(yīng)按其萬分之二的利率支付利息，則該店最少需要多少天（取整數(shù)）才能還清集資款？

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)收支平衡關(guān)系列方程求得商品的成本a，根據(jù)毛利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量-員工工資-應(yīng)支付其它費(fèi)用列函數(shù)關(guān)系式，配方后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得最值情況；
（3）由（2）中的最大毛利潤(rùn)，設(shè)需t天能還清借款，根據(jù)t天的總利潤(rùn)≥t天的本息和，列不等式求解即可．

解答 解：（1）由表可知，y是關(guān)于x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，
將x=110、y=50，x=115、y=45代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{110k+b=50}\\{115k+b=45}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=160}\end{array}\right.$，
∴y=-x+160；

（2）由已知可得：50×110=50a+3×100+200，
解得：a=100，
設(shè)每天的毛利潤(rùn)為W，
則W=（x-100）y-2×100-200
=（x-100）（-x+160）-2×100-200
=-x²+260x-16400
=-（x-130）²+500，
∴當(dāng)x=130時(shí)，W取得最大值，最大值為500，
答：每件服裝的銷售價(jià)定為130元時(shí)，該服裝店每天的毛利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為500元；

（3）設(shè)需t天能還清借款，
則500t≥50000+0.0002×50000t
解得：t≥102$\frac{2}{49}$，
∵t為整數(shù)，
∴t的最小值為103，
答：該店最少需要103天才能還清集資款．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意依據(jù)相等關(guān)系或不等關(guān)系列出方程、函數(shù)關(guān)系式及不等式是解題的關(guān)鍵．