Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，
（1）試猜想∠MAN的大小并說(shuō)明理由．
（2）試證：BM=MN=NC．

Answer 1

解：（1）∠MAN=60°．
理由：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵M(jìn)E是AB的垂直平分線，NF是AC的垂直平分線，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，
∴∠MAN=∠BAC-∠BAM-∠CAN=60°；

（2）證明：∵∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∵∠MAN=60°，
∴△AMN是等邊三角形，
∴AM=AN=MN，
∵AM=BM，AN=CN，
∴BM=MN=NC．
分析：（1）由AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AM=BM，AN=CN，繼而求得∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，則可求得∠MAN的大��；
（2）由∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，易證得△AMN是等邊三角形，則可證得BM=MN=NC．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．