Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB．
（1）證明：DC=DG；
（2）若DG=5，EC=2，求DE的長．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DG=AG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠GAD=∠GDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CGD=2∠GAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得∠ACD=∠CGD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=DG；
（2）根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：（1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠DEB=180°，
∴∠ADE=90°，
∵G為AF的中點，
∴DG=AG，
∴∠DAF=∠ADG，
∴∠DGC=∠DAF+∠ADG=2∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵∠ACD=2∠ACB，
∴∠DGC=∠DCA，
∴DC=DG；

（2）解：∵在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DG=DC=5，CE=2，
∴由勾股定理得：DE=

52-22

=

21

．

點評：本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出DG=DC，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．