Question

如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M．
（1）求證：∠FMC=∠FCM；
（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DF⊥AE，DF=AF=EF，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案．

解答：（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，

∠DCF=∠AMF ∠MFA=∠CFD DF=AF

，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠DCF=∠AMF是解題關(guān)鍵．