Question

如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=8cm，∠CAD=15°，則矩形ABCD的面積S=________cm²．

Answer 1

16
分析：首先取∠DCE=60°，CE交AD于E，由四邊形ABCD是矩形，∠CAD=15°，易求得△AEC是等腰三角形，∠DEC=30°，即可設(shè)CD=xcm，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得DE與EC的長(zhǎng)，即可求得AD的長(zhǎng)，又由AC=8cm，在Rt△ACD中，利用勾股定理可得方程[（2+）x]²+x²=64，解此方程求得x²的值，然后由矩形ABCD的面積S=AD•CD，將x²的值代入即可求得答案．
解答：解：如圖：取∠DCE=60°，CE交AD于E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，
∵∠CAD=15°，
∴∠ACD=75°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=75°-60°=15°，
∴∠ACE=∠CAD，
∴AE=CE，∠DEC=∠EAC+∠ECA=30°，
在Rt△DCE中，EC=2DC，
DE===DC，
設(shè)DC=xcm，則DE=xcm，AE=EC=2xcm，
∴AD=AE+DE=（2+）xcm，
在Rt△ACD中，AD²+CD²=AC²，
∵AC=8cm，
∴[（2+）x]²+x²=64，
解得：x²=32-16，
∴矩形ABCD的面積S=AD•CD=（2+）x²=（2+）（32-16）=16（cm²）．
故答案為：16．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．