Question

探究與發(fā)現(xiàn)：
如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī)。我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：
①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=_______°；

②如圖（3）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度數(shù)。

Answer 1

解：（1）連接AD并延長至點(diǎn)F，
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠ CAD，
且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD，
相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；
 （2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因?yàn)椤螦=50°，∠BXC=90°，
所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；
②由（1）的結(jié)論易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，
易得∠ADB+∠AEB=80°；
而∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，
易得∠DCE=90°；
③有（2）的關(guān)系，易得答案：∠A=140°-×77°=70°。