Question

如圖①，直線l：y=mx+n（m＞0，n＜0）與x，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，過點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．

（1）若l：y=﹣2x+2，則P表示的函數(shù)解析式為　 　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，則l表示的函數(shù)解析式為　 　．

（2）求P的對稱軸（用含m，n的代數(shù)式表示）；

（3）如圖②，若l：y=﹣2x+4，P的對稱軸與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在l上，點(diǎn)Q在P的對稱軸上．當(dāng)以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）如圖③，若l：y=mx﹣4m，G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM．若OM=，直接寫出l，P表示的函數(shù)解析式．

 

 

Answer 1

（1）y=﹣x2﹣x+2；y=﹣4x+4．

（2）P的對稱軸為x=﹣．

（3）點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．

（4）l表示的函數(shù)解析式為：y=﹣2x+4；P：y=﹣x2﹣x+8．

【解析】

試題分析：（1）若l：y=﹣2x+2，求出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出P表示的函數(shù)解析式；若P：y=﹣x2﹣3x+4，求出點(diǎn)D、A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出l表示的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)已知求得拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得對稱軸；

（3）以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，則有FQ∥CE，且FQ=CE．以此為基礎(chǔ)，列方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．注意：點(diǎn)Q的坐標(biāo)有兩個(gè)，如答圖1所示，不要漏解；

（4）如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形OGH，求出OG的長度，進(jìn)而由AB=2OG求出AB的長度，再利用勾股定理求出y=mx﹣4m中m的值，最后分別求出l，P表示的函數(shù)解析式．

試題解析：（1）若l：y=﹣2x+2，則A（1，0），B（0，2）．

∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，

∴D（﹣2，0）．

設(shè)P表示的函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c，將點(diǎn)A、B、D坐標(biāo)代入得：

，解得，

∴P表示的函數(shù)解析式為：y=﹣x2﹣x+2；

若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），則D（﹣4，0），A（1，0）．

∴B（0，4）．

設(shè)l表示的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入得：

，解得，

∴l(xiāng)表示的函數(shù)解析式為：y=﹣4x+4．

（2）直線l：y=mx+n（m＞0，n＜0），

令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；令x=0，得y=n．

∴A（﹣，0）、B（0，n），

∴D（﹣n，0）．

設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為N（x，0），

∵DN=AN，∴﹣﹣x=x﹣（﹣n），

∴2x=﹣n﹣，

∴P的對稱軸為x=﹣．

（3）若l：y=﹣2x+4，則A（2，0）、B（0，4），

∴C（0，2）、D（﹣4，0）．

可求得直線CD的解析式為：y=x+2．

由（2）可知，P的對稱軸為x=﹣1．

∵以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形，

∴FQ∥CE，且FQ=CE．

設(shè)直線FQ的解析式為：y=x+b．

∵點(diǎn)E、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相差1，∴點(diǎn)F、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也是相差1．

則|xF﹣（﹣1）|=|xF+1|=1，

解得xF=0或xF=﹣2．

∵點(diǎn)F在直線l：y=﹣2x+4上，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，4）或（﹣2，8）．

若F（0，4），則直線FQ的解析式為：y=x+4，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=，∴Q1（﹣1，）；

若F（﹣2，8），則直線FQ的解析式為：y=x+9，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=，∴Q2（﹣1，）．

∴滿足條件的點(diǎn)Q有2個(gè)，如答圖1所示，點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．

（4）如答圖2所示，連接OG、OH．

∵點(diǎn)G、H為斜邊中點(diǎn)，∴OG=AB，OH=CD．

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AB=CD，OG⊥OH，

∴△OGH為等腰直角三角形．

∵點(diǎn)G為GH中點(diǎn)，∴△OMG為等腰直角三角形，

∴OG=OM=•=2，

∴AB=2OG=4．

∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（4）2，

解得：m=﹣2或m=2，

∵點(diǎn)B在y軸正半軸，∴m=2舍去，∴m=﹣2．

∴l(xiāng)表示的函數(shù)解析式為：y=﹣2x+4；

∴B（0，8），D（﹣8，0）．又A（4，0），利用待定系數(shù)法求得P：y=﹣x2﹣x+8．

考點(diǎn)：1、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2、待定系數(shù)法；3、旋轉(zhuǎn)變換；4、平行四邊形