Question

11．如圖，直線y₁=-mx+5m與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于A、B（4，n）兩點(diǎn)，與x軸相交于C點(diǎn)，△BOC的面積是$\frac{5}{2}$．
（1）求m、k的值；
（2）求A的坐標(biāo)，并寫出當(dāng)x＞0時(shí)，y₁與y₂的大�。�

Answer 1

分析 （1）先求出直線y₁=-mx+5m的交點(diǎn)C（5，0），根據(jù)△BOC的面積為$\frac{5}{2}$結(jié)合題意求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，分別代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式求得m、k的值；
（2）根據(jù)所求函數(shù)解析式列方程可求得點(diǎn)A坐標(biāo)，由函數(shù)圖象可得出y₁與y₂的大小．

解答 解：（1）把y=0代入y₁=-mx+5m，得：-mx+5m=0，
解得：x=5，即點(diǎn)C（5，0），
∴OC=5，
如圖，過點(diǎn)B作BD⊥OC于點(diǎn)D，

∵△BOC的面積為$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•BD=$\frac{1}{2}$×5•BD=$\frac{5}{2}$，
解得：BD=1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，1），
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y₁=-mx+5m得：-4m+5m=1，
解得：m=1，
將點(diǎn)B代入y₂=$\frac{k}{x}$，得：k=4；

（2）當(dāng)y₁=y₂時(shí)，-x+5=$\frac{4}{x}$，
解得：x₁=4，x₂=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y₁=y₂=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），
由圖象可知當(dāng)0＜x＜1或x＞4時(shí)，y₁＜y₂；當(dāng)x=1或x=4時(shí)，y₁=y₂；當(dāng)1＜x＜4時(shí)，y₁＞y₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積公式，根據(jù)三角形的面積公式找出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．