Question

1．△BCD中，BC=CD，∠BCD=90°，點Q為BD上一點，M、N分別為直線BC、CD上一點，且∠MQN=90°．
（1）如圖1，若BQ=3DQ，求$\frac{QM}{QN}$的值；
（2）如圖2，若DQ=3BQ，QP⊥BD交直線DC于點P，求$\frac{BM}{NP}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過Q點作QP⊥BD交DC于P，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)的性質(zhì)證明△QPN∽△QBM，就可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠NQP=∠MQB，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)的性質(zhì)證明△QPN∽△QBM，就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過Q點作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠DPQ=∠D=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴$\frac{QM}{QN}=\frac{BQ}{PQ}$，
∵BQ=3DQ，
∴BQ=3PQ，
∴$\frac{QM}{QN}$=$\frac{1}{3}$；

（2）∵QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQD=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠DPQ=∠D=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴$\frac{BM}{PN}$=$\frac{BQ}{PQ}$，
∵BQ=$\frac{1}{3}$DQ，
∴BQ=$\frac{1}{3}$PQ，
∴$\frac{BM}{PN}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)，在解答時利用三角形相似的性質(zhì)求出線段的比是解答本題的關(guān)鍵．