Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A、C、D作拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點(diǎn)為E，連結(jié)CE，點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l交x軸于點(diǎn)F，交線(xiàn)段CD于點(diǎn)K，點(diǎn)M、N分別是直線(xiàn)l和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MN，當(dāng)線(xiàn)段MN恰好被BC垂直平分時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)M作一條直線(xiàn)，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線(xiàn)的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）連結(jié)BD交對(duì)稱(chēng)軸于G，過(guò)G作GN⊥BC于H，交x軸于N，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)BD的解析式，根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸公式可求對(duì)稱(chēng)軸，由此即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P₁，分點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，兩種情況討論即可求出直線(xiàn)的解析式．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，4），
∵過(guò)點(diǎn)A、C、D作拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0），
∴，
解得．
故拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+x+4．

（2）連結(jié)BD交對(duì)稱(chēng)軸于G，
在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，則∠DCB=∠DBC，
又∵∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
過(guò)G作GN⊥BC于H，交x軸于N，
易證GH=HN，
∴點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，
故直線(xiàn)BD的解析式y(tǒng)=-x+4    
根據(jù)拋物線(xiàn)可知對(duì)稱(chēng)軸方程為x=，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），即GF=，BF=，
∴BM==，
又∵M(jìn)N被BC垂直平分，
∴BM=BN=，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）；

（3）過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P₁，
易求四邊形AECD的面積為28，四邊形ABCD的面積為20，
由“四邊形AECD的面積分為3：4”可知直線(xiàn)P₁M必與線(xiàn)段CD相交，
設(shè)交點(diǎn)為Q₁，四邊形AP₁Q₁D的面積為S₁，四邊形P₁ECQ₁的面積為S₂，點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（a，0），
假設(shè)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，則P₁F=-a，P₁E=7-a，
由△MKQ₁∽△MFP₁，得=，
易求Q₁K=5P₁F=5（-a），
∴CQ₁=-5（-a）=5a-10，
∴S₂=（5a-10+7-a）×4=28×，
解得：a=，
根據(jù)P₁（，0），M（，）可求直線(xiàn)P₁M的解析式為y=x-6，
若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，則直線(xiàn)P₂M的解析式為y=-x+．
點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式，待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸公式，分類(lèi)思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．