Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0）三點，連結(jié)AB、BC，在拋物線內(nèi)作平行四邊形ABCD，連結(jié)BD與x軸交于E點．
（1）求直線BD的解析式；   
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若拋物線上有一動點P在BC之間移動，那么當(dāng)它運動到什么位置時，該動點到x軸的距離和到直線BD的距離相等？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由平行四邊形ABCD的性質(zhì)可知，點E是AC的中點，其坐標(biāo)為（2，0），結(jié)合點B（0，2

3

），可設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，代入即可求出解析式；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)已知，經(jīng)過三點A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0），代入即可求出解析式；
（3）根據(jù)到角兩的距離相等的點在角的平分線上，可知要求的動點既在拋物線上，又在∠BEC的平分線上，因為OB=2

3

，OE=2，可根據(jù)三角函數(shù)求出∠OEB=60°．作∠BEC的角平分線EP與拋物線交于點P，并反向延長與y軸交于點M，可知點P處于拋物線上的BC之間，即為所求之點，顯然可知∠OEM=60°，利用三角函數(shù)求出OM=2

3

直線EP經(jīng)過點E（2，0）和M（0，-2

3

），可求出此直線的解析式為y=

3

x-2

3

，結(jié)合拋物線的解析式可求得兩個交點，即（4，2

3

）和（-6，-8

3

），由于點P在BC之間，故點P的坐標(biāo)為（4，2

3

）．

解答：解：（1）由平行四邊形ABCD的性質(zhì)可知，點E是AC的中點，其坐標(biāo)為（2，0），結(jié)合點B（0，2

3

），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，代入得：

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=2 3

，
故解析式為y=-

3

x+2

3

．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)已知，經(jīng)過三點A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0），
代入得：

4a-2b+c=0 c=2 3 36a+6b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 3 b=- 3 6 c=2 3

，
故解析式為：y=-

2 3

3

x²-

3

6

x+2

3

；

（3）作∠BEC的角平分線EP與拋物線交于點P，并反向延長與y軸交于點M，可知點P處于拋物線上的BC之間，即為所求之點．
∵OB=2

3

，OE=2，
∴tan∠OEB=

3

，故∠CEP=60°，
顯然可知∠OEM=60°，故OM=2

3

直線EP經(jīng)過點E（2，0）和M（0，-2

3

），
∴

2k+b=0 c=-2 3

，
解得：

k= 3 b=2 3

，
∴此直線的解析式為：y=

3

x-2

3

，
∴

y=- 2 3 2 x2+ 3 3 x+2 3 y= 3 x-2 3

，
解得：

x1=4 y1=2 3

，

x2=-6 y2=-8 3

，
∴兩函數(shù)兩個交點坐標(biāo)為：（4，2

3

）和（-6，-8

3

），
由于點P在BC之間，故點P的坐標(biāo)為（4，2

3

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二元二次方程組的解法和待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識，得出直線ME的解析式是解題關(guān)鍵．