Question

如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓，其中O₁和O₂分別為兩個(gè)半圓的圓心，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)。

（1）連結(jié)，
證明：；
（2）如圖二，過點(diǎn)A分別作半圓O₁和O₂半圓的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求線段PQ的長；
（3）如圖三，過點(diǎn)A作半圓O₂的切線，交CE的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點(diǎn)P，連結(jié)PA，證明：PA是半圓O₁的切線。

Answer 1

解：（1）證明：如圖一，∵，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)， ∴且，且， ∴， ∴， ∵點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)， ， ， ， ， ；
（2）如圖二，延長CA至G，使AG=AQ，連接BG、AE ∵點(diǎn)E是半圓圓弧的中點(diǎn)， ∴AE=CE=3， ∵AC為直徑， ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=， ∵AQ是半圓的切線， ∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°， ∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°， ∴AQ=AC=AG=， 同理：∠BAP=90°，AB=AP=， ∴CG=，∠GAB=∠QAP， ∴， ∴PQ=BG， ∵∠ACB=90°， ∴BC=， ∴BG=， ∴PQ=；
（3）如圖三，設(shè)直線FA與PQ的垂足為M，過C作CS⊥MF于S，過B作BR⊥MF于R，連接DR、AD、DM。 ∵F是BC邊的中點(diǎn)， ∴， ∴BR=CS， 由（2）已證∠CAQ=90°，AC=AQ， ∴∠2+∠3=90°， ∵FM⊥PQ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3， 同理：∠2=∠4， ∴， ∴AM=CS， ∴AM=BR， 同（2）可證AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°， ∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90° ∴A、D、B、R四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點(diǎn)在以AP為直徑的圓上， 且∠DBR+∠DAR=180°， ∴∠5=∠8，∠6=∠7， ∵∠DAM+∠DAR=180°， ∴∠DBR=∠DAM ∴， ∴∠5=∠9， ∴∠RDM=90°， ∴∠5+∠7=90°， ∴∠6+∠8=90°， ∴∠PAB=90°， ∴PA⊥AB，又AB是半圓直徑， ∴PA是半圓的切線。