Question

已知，如圖：在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，E分別為AC、AB上的點(diǎn)，且BE=CD，G、M、N分別為BC、BD、CE的中點(diǎn)．
（1）求∠MGN與∠A的度數(shù)相等嗎？說明理由．
（2）判斷△GMN的形狀，說明理由．

Answer 1

解：（1）相等；
∵G、M、N分別為BC、BD、CE的中點(diǎn)，
∴GM∥CD，GN∥BE，
∴∠BGM=∠ACB=50°，∠CGN=∠ABC=70°，
∴∠MGN=180°-∠BGM-∠CGN=60°，
已知∠ABC=70°，∠ACB=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
∴∠MGN=∠A；

（2）等邊三角形；
∵G、M、N分別為BC、BD、CE的中點(diǎn)，
∴GM=CD，GN=BE，
又已知BE=CD，
∴GM=GN，
∴∠GMN=∠CNM，
又∵∠MGN=60°，
∴∠GMN=∠CNM=（180°-60°）=60°，
∴∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°，
∴△GMN為等邊三角形．
分析：（1）由G、M、N分別為BC、BD、CE的中點(diǎn)根據(jù)三角形中位線定理可得GM∥CD，GN∥BE，繼而得∠BGM=∠ACB=50°，∠CGN=∠ABC=70°，所以得∠MGN=60°，再由三角形內(nèi)角和定理得∠A=60°，所以∠MGN與∠A的度數(shù)相等；
（2）由已知BE=CD，G、M、N分別為BC、BD、CE的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得GM=GN，則得∠GMN=∠CNM，由（1）得出∠MGN=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°，所以得△GMN的形狀為等邊三角形．
點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是三角形的內(nèi)角和定理及等邊三角形的判定，運(yùn)用三角形中位線定理和三角形內(nèi)角和定理是關(guān)鍵．