Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(2

3

，2)，B（4，0）．將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0°＜a＜90°）得到△OCD（O，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O，C，D），將△OAB沿x軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到△EFG（m＞0，O，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G），a，m的值恰使點(diǎn)C，D，F(xiàn)落在同一反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象上．
（1）∠AOB=

 

°，a=

 

°；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)A，B，F(xiàn)的拋物線的解析式；
（3）若（2）中拋物線的頂點(diǎn)為M，拋物線與直線EF的另一個(gè)交點(diǎn)為H，拋物線上的點(diǎn)P滿足以P，M，F(xiàn)，A為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等（點(diǎn)P不與點(diǎn)H重合），請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并求位于直線EF上方的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A(2

3

，2)，由特殊角的三角函數(shù)值，即可求得∠AOB的度數(shù)，又由OA=4=OD，可知當(dāng)∠BOC=30°時(shí)符合題意，則可求得α的度數(shù)；
（2）由點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得反比例函數(shù)的解析式，點(diǎn)F是由點(diǎn)A沿x軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到，而且點(diǎn)F也在反比例函數(shù)上，即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）首先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求得直線EF的解析式，與拋物線組成方程組，即可求得H的橫坐標(biāo)，求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積法求得其它P點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵A(2

3

，2)，
∴tan∠AOB=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠AOB=30°，
∴OA=4，
∴當(dāng)∠BOC=30°時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（2

3

，-2），
∴∠DOK=30°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-2

3

）
∴點(diǎn)C與D在反比例函數(shù)上，
∴a=60°；

（2）∵A(2

3

，2)，B（4，0），
△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到△OCD，（如圖1）
∴OA=OB=OC=OD=4．
由（1）得∠BOC=30°=∠AOB．
∴點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2

3

，-2)．
∵點(diǎn)C，D，F(xiàn)落在同一反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象上，
∴k=x_C•y_C=-4

3

．
∵點(diǎn)F是由點(diǎn)A沿x軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到，
∴y_F=2，xF=

-4 3

2

=-2

3

，
點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2

3

，2）．
∴點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
可設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B，F(xiàn)的拋物線的解析式為y=ax²+c．
∴

(2 3 )2a+c=2 16a+c=0.

，
解得

a=- 1 2 c=8.

，
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+8；

（3）滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為5個(gè)．
拋物線y=-

1

2

x²+8的頂點(diǎn)為M（0，8）．
∵△EFG是由△OAB沿x軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到，
∴m=FA=4

3

，x_E=x_O-m=-4

3

，
∠FEG=∠AOB=30°．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4

3

，0）．
可得直線EF的解析式為y=

3

3

x+4．
∵點(diǎn)H的橫坐標(biāo)是方程

3

3

x+4=-

1

2

x2+8的解，
整理，得3x2+2

3

x-24=0．
解得x1=

4 3

3

，x2=-2

3

．
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(

4 3

3

，

16

3

)．
由拋物線的對(duì)稱性知符合題意的
P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

4 3

3

，

16

3

)．
可知△AFM是等邊三角形，∠MAF=60°．
由A，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2

3

，2)，M（0，8），
可得直線AM的解析式為y=-

3

x+8．
過點(diǎn)H作直線AM的平行線l，
設(shè)其解析式為y=-

3

x+b（b≠8）．
將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入上式，得

16

3

=-

3

×

4 3

3

+b．
解得b=

28

3

，直線l的解析式為y=-

3

x+

28

3

．
∵直線l與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程
-

3

x+

28

3

=-

1

2

x2+8的解．
整理，得3x2-6

3

x+8=0．
解得x1=

4 3

3

，x2=

2 3

3

．
∴點(diǎn)P₂(

2 3

3

，

22

3

)滿足S△P2AM=S△HAM，
四邊形P₂MFA的面積與四邊形MFAH的面積相等．（如圖2）
點(diǎn)P₂關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P₃也符合題意，
其坐標(biāo)為P₃(-

2 3

3

，

22

3

)．
綜上所述，位于直線EF上方的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁(-

4 3

3

，

16

3

)，P₂(

2 3

3

，

22

3

)，P₃(-

2 3

3

，

22

3

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的知識(shí)，待定系數(shù)法求解析式以及求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度很大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．