Question

 已知△ABC中,∠BAC=90°, AB="AC." （1）（5分） 如圖，D為AC上任一點，連接BD，過A點作BD的垂線交過C點與AB平行的直線CE于點E.求證：BD=AE.

（2）（6分） 若點D在AC的延長線上，如圖，其他條件同（1），請畫出此時的圖形，并猜想BD與AE是否仍然相等？說明你的理由.

Answer 1

證明：（1）∵AB∥CE，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
AB="AC" ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD ∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．
（2）BD與AE仍然相等，
證明：過點C作AB∥CE，過點A作AE⊥BD于點F，
∵AB∥CE，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
AB="AC" ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD  
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．

解析