Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，且OA＞OB，以AB為直徑的圓過點C．若點C的坐標為（0，2），AB=5，A，B兩點的橫坐標x_A，x_B是關于x的方程x²-（m+2）x+n-1=0的兩根．
（1）求m，n的值；
（2）若∠ACB平分線所在的直線l交x軸于點D，試求直線l對應的一次函數(shù)解析式；
（3）過點D任作一直線l′分別交射線CA，CB（點C除外）于點M，N．則的是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵以AB為直徑的圓過點C，∴∠ACB=90°，而點C的坐標為（0，2），
由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO²=AO•BO，
即：4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
∵OA＞OB，∴AO=4，
即x_A=-4，x_B=1．
由根與系數(shù)關系有：，
解之m=-5，n=-3．

（2）如圖，過點D作DE∥BC，交AC于點E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，易得AC=，BC=，
∵DE∥BC，∴，∵DE=EC，∴，
又△AED∽△ACB，有，∴=2，
∵AB=5，設BD=x，則AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=，
則OD=，即D（-，0），
易求得直線l對應的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2．
解法二：過D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，
由S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC′
求得．
又S_△BCD=BD•CO=BC•DF，
求得BD=，DO=．
即D（-，0），
易求得直線l對應的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2．

（3）過點D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．
∵CD為∠ACB的平分線，∴DE=DF．
由△MDE∽△MNC，有，
由△DNF∽△MNC，有．
∴，
即．
分析：（1）利用直角三角形的性質可知△AOC∽△COB，則CO²=AO•BO，4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
即x_A=-4，x_B=1．再利用根與系數(shù)的關系代入兩根和與兩根之積的關系式中求解可知m=-5，n=-3．
（2）過點D作DE∥BC，交AC于點E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，可證明△AED∽△ACB，利用成比例線段求得OD=，即D（-，0），利用待定系數(shù)法求出直線l對應的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2．
（3）過點D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．因為CD為∠ACB的平分線，所以DE=DF．由△MDE∽△MNC，有，由△DNF∽△MNC，有，得到，即．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活地運用函數(shù)圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．