Question

21、求證：存在無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)k，使得n⁴+k不是質(zhì)數(shù)．

Answer 1

分析：取k=4a²（a是自然數(shù)），分解整理n⁴+k，得到兩個(gè)因式，進(jìn)行判斷，即可證明．

解答：解：取k=4a²（a是自然數(shù)），n⁴+k=n⁴+4a²=n⁴+4a²n²+4a²-4n²a²=（n²+2an+2a²）（n²-2an+2a²）
當(dāng)a≥2時(shí)，這是兩個(gè)大于1的自然數(shù)的乘積，因?yàn)閍有無(wú)窮多個(gè)，所以k也有無(wú)窮多個(gè)．
即存在無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)k，使得n⁴+k不是質(zhì)數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查因式分解的運(yùn)用．