Question

【題目】在中，，，，設(shè)，．

（1）如圖1，當(dāng)點在內(nèi)，

①若，求的度數(shù)；

小明同學(xué)通過分析已知條件發(fā)現(xiàn)：是頂角為的等腰三角形，且，從而容易聯(lián)想到構(gòu)造一個頂角為的等腰三角形．于是，他過點作，且，連接，發(fā)現(xiàn)兩個不同的三角形全等：_____________再利用全等三角形及等腰三角形的相關(guān)知識可求出的度數(shù)

請利用小王同學(xué)分析的思路，通過計算求得的度數(shù)為_____；

②小王在①的基礎(chǔ)上進一步進行探索，發(fā)現(xiàn)之間存在一種特殊的等量關(guān)系，請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．

（2）如圖2，點在外，那么之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若改變，請直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系；若不變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△BAD，△CAP， 63°；②β﹣α＝90°；（2）改變，α+β＝90°．

【解析】

（1）①先證明△BAD≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CP＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答；②仿照①的作法解答即可；

（2）過點A作，且AD＝AP，連接DP，DB，證明△BAD≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PC＝BD，結(jié)合圖形計算即可．

解：（1）①∵，，

∴∠BAC＝∠DAP，

∴∠BAD＝∠CAP，

在△BAD和△CAP中，

，

∴△BAD≌△CAP（SAS），

∴BD＝CP，∠BDA＝∠APC，

∵，

∴BD＝，

如圖，過點A作AH⊥DP，垂足為點H，

∵，且，

∴∠APD＝∠ADP＝30°，

在Rt△APH中，cos∠APH=,

∴cos30°=,

∴

∵，AH⊥DP，

∴DP＝2PH＝，

∴BD＝DP，

∴∠BPD＝∠PBD，

∵，，，

∴

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝

∴∠BDP＝，

∴∠BDA＝∠BDP+∠ADP＝，

∵∠BDA＝∠APC，

∴，

∴，

故答案為：△BAD，△CAP， 63°；

②β﹣α＝90°，

理由如下：由①得

∵，，

∴，

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝，

∴∠BDP＝，

∴∠BDA＝∠BDP+∠ADP＝，

∵∠BDA＝∠APC，

∴，

∴β﹣α＝90°，

（2）改變，α+β＝90°，理由如下：

過點A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，連接DP，DB，過點A作AH⊥DP，垂足為點H，

∵，，

∴∠BAC＝∠DAP，

∴∠BAD＝∠CAP，

在△BAD和△CAP中，

，

∴△BAD≌△CAP（SAS），

∴BD＝CP，∠BDA＝∠APC，

∵，

∴BD＝，

∵，且，

∴∠APD＝∠ADP＝30°，

在Rt△APH中，cos∠APH=,

∴cos30°=,

∴

∵，AH⊥DP，

∴DP＝2PH＝，

∴BD＝DP，

∴∠BPD＝∠PBD，

∵，∠APD＝30°，

∴∠BPD＝∠PBD＝∠APB+∠APD＝+30°，

∵，，

∴∠ADB＝，

又∵∠ADP＝30°，

∴∠BDP＝∠ADB+∠ADP＝+30°,

∵∠BPD+∠PBD+∠BDP＝180°,

∴+30°++30°++30°＝180°,

∴α+β＝90°，

∴α、β之間的數(shù)量關(guān)系改變?yōu)?/span>α+β＝90°．