Question

如圖，BE⊥AC、CF⊥AB于點E、F，BE與CF交于點D，DE=DF，連接AD．
求證：（1）∠FAD=∠EAD
（2）BD=CD．

Answer 1

證明：（1）∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分線，
∴∠FAD=∠EAD；

（2）∵△ADF與△ADE是直角三角形，DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE，
∴∠ADF=∠ADE，
∵∠BDF=∠CDE，
∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE，即∠ADB=∠ADC，
在△ABD≌△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．
分析：（1）根據(jù)BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF可直接得出AD是∠BAC的平分線，由角平分線的定義可知∠FAD=∠EAD；
（2）由DE=DF，AD=AD可知Rt△ADF≌Rt△ADE，故可得出∠ADF=∠ADE，由對頂角相等可知∠BDF=∠CDE，進而可得出∠ADB=∠ADC，由以上條件可判斷出△ABD≌△ACD，由全等三角形的判定定理即可得出BD=CD．
點評：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等的知識是解答此題的關鍵．