Question

已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A的直線與y軸交于點D（0，），試求點B到直線AD的距離；
（3）點P、Q為拋物線對稱軸左側(cè)圖象上兩點（點P在點Q的左側(cè)），PQ=，且PQ所在直線垂直于直線AD，試求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵y=x²+bx+c過（3，0）和（0，-3），
則，
解得．
∴y=x²-2x-3；

（2）過點B作BH⊥AD于H，．
∴∠AHB=90°．
∵y=0時，0=x²-2x-3
∴x₁=-1，x₂=3，
A（-1，0），
∴OA=1．
∵D（0，），
∴OD=．
在Rt△AOD中，
AD=．
∵△ABH∽△ADO，
∴，
∴BH=；

（3）過點P作PM∥x軸，QM∥y軸交于于點M，
∴△QPM∽△ADO，
∴，
∴，
∴MQ=2PM．
∵M(jìn)Q²+PM²=PQ²，
∴4PM²+PM²=5
∴PM=1，
∴QM=2．
設(shè)點P（a，a²-2a-3），則點Q（a+1，（a+1）²-2（a+1）-3），
（a²-2a-3）-[（a+1）2-2（a+1）-3]=2，
∴a=
∴點P（，-）．
分析：（1）直接運用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（2）過點B作BH⊥AD于H，先根據(jù)勾股定理求出AD的值，再運用相似三角形的性質(zhì)就可以求出BH的值從而得出結(jié)論；
（3）過點P作PM∥x軸，QM∥y軸交于于點M，延長QP交AD于點E，就可以得出△QPM∽△ADO就可以求出PM與QM的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理就可以求出PM，QM的值，再表示出點P、點Q的坐標(biāo)根據(jù)QM的值為2就可以求出其解．
點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，解答時運用相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．