Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）求證：ABCP＝BDCD；

（3）當AB＝5cm，AC＝12cm時，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）PC=.

【解析】

（1）連接OD,證明OD⊥PD即可．
（2）先判斷出∠BAD＝∠PDC，再判斷出∠ABD＝∠PCD，即可得出結論；

（3）利用勾股定理求出BC，BD，CD，再利用（2）中結論即可解決問題．

（1）證明：連接OD．

∵∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴∠BOD＝∠COD＝90°，

∵BC∥PA，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

∴OD⊥PA，

∴PD是⊙O的切線．

（2）證明：∵BC∥PD，

∴∠PDC＝∠BCD．

∵∠BCD＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠PDC，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，

∴∠ABD＝∠PCD，

∴△BAD∽△CDP，

∴，

∴ABCP＝BDCD．

（3）解：∵BC是直徑，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，

∵AB＝5，AC＝12，

∴BC＝＝13，

∴BD＝CD＝，

∵ABCP＝BDCD．

∴PC＝．