Question

如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．若點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△AEP與△BPQ是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PE和線段PQ的位置關(guān)系；
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，設(shè)△PEQ的面積為Scm²，請(qǐng)用t的代數(shù)式表示S；
（3）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△AEP與△BPQ全等？

Answer 1

解：（1）∵長(zhǎng)方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=6cm，
∴AE=3cm，
又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，
∴AE=BP，
在△AEP和△BQP中，，
∴△AEP≌△BPQ，
∴∠AEP=∠BPQ，
又∵∠AEP+∠APE=90°，
故可得出∠BPQ+∠APE=90°，
即∠EPQ=90°，
即EP⊥PQ．
（2）連接QE，
由題意得：AP=BQ=t，BP=4﹣t，CQ=6﹣t，
S_PEQ=S_ABCD﹣S_BPQ﹣S_EDCQ﹣S_APE
=AD·AB﹣AE·AP﹣BP·BQ﹣（DE+CQ）·CD
=24﹣×3t﹣t（4﹣t）﹣×4（3+6﹣t）=﹣t+6．
（3）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，經(jīng)過(guò)y秒后，△AEP≌△BQP，
則AP=BP，AE=BQ，
∴，解得：，
即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)能使兩三角形全等．