Question

如圖，菱形ABCD中，O為AC上一點(diǎn)，OA=AB，經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)的⊙O的半徑為1，求cos∠AOB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：首先設(shè)AB=x，由菱形ABCD中，經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)的⊙O的半徑為1，易證得△OBC∽△BAC，繼而可得BC²=OA•AC，得到方程x²=x（x+1），則可求得x的值，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，由等腰三角形的三線合一，可求得OE的長(zhǎng)，繼而求得cos∠AOB的值．

解答：解：設(shè)AB=x，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=x，則OA=AB=x，
∴∠BAC=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC=∠BAC，
∵∠OCB=∠BCA，
∴△OBC∽△BAC，
∴

BC

AC

=

OC

BC

，
∴BC²=OA•AC，
∵OC=1，
∴AC=OA+OC=x+1，
∴x²=x（x+1），
解得：x=

1+ 5

2

，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，
∴OE=

1

2

OB=

1

2

，
∴cos∠AOB=

OE

OA

=

1 2

1+ 5 2

=

5 -1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．