Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C→B→C作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）試證明：AD∥BC．
（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，△DEG與△BFG全等．

Answer 1

分析 （1）由AD=BC=8，AB=CD，BD為公共邊，所以可證得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

解答 （1）證明：在△ABD和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{AB=CD}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v，
當(dāng)0＜t≤$\frac{4}{3}$時(shí)，若△DEG≌△BFG，則$\left\{\begin{array}{l}DE=BF\\ DG=BG\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=4-3t\\ 6-BG=BG\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=1\\ BG=3\end{array}$，
∴v=3；
若△DEG≌△BGF，則$\left\{\begin{array}{l}DE=BG\\ DG=BF\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=BG\\ 6-BG=4-3t\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=-1\\ BG=-1\end{array}$ （舍去）；
當(dāng)$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{8}{3}$時(shí)，若△DEG≌△BFG，則$\left\{\begin{array}{l}DE=BF\\ DG=BG\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=3t-4\\ 6-BG=BG\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=2\\ BG=3\end{array}$，
∴v=$\frac{3}{2}$；
若△DEG≌△BGF，則$\left\{\begin{array}{l}DE=BG\\ DG=BF\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=BG\\ 6-BG=3t-4\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=\frac{5}{2}\\ BG=\frac{5}{2}\end{array}$，
∴v=1．
綜上，點(diǎn)G的速度為3或$\frac{3}{2}$或1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，第（2）題解題的關(guān)鍵是利用好三角形全等解得．