Question

如圖，分別以等腰Rt△ABC的邊AC、BC為直徑畫半圓，以邊AB為直徑畫圓．則：
①S_半圓AECA+S_半圓BGCB=S_半圓ALBA；
②S_月形AECF=2S_弓形AFCA；
③S_弓形AFCA+S_弓形CHBC=

1

2

S_△ABC；
④S_月形AECF+S_月形BGCH=S_△ABC．
正確的結(jié)論有（　�。�

• A、①②③
• B、①④
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專題：

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及圓的面積公式，分別表示出各部分面積進(jìn)而判斷得出即可．

解答：解：∵分別以等腰Rt△ABC的邊AC、BC為直徑畫半圓，以邊AB為直徑畫圓，
∴∠ACB=∠ADC=90°，∠CAB=∠CBA=45°，
設(shè)AC=2x，則BC=2x，AB=2

2

x，
①∵S_半圓AECA=

1

2

πx²，S_半圓BGCB=

1

2

πx²，S_半圓ALBA=

1

2

π（

2

x）²=πx²，
∴S_半圓AECA+S_半圓BGCB=S_半圓ALBA，故此選項(xiàng)正確；

②∵S_弓形AFCA=S_扇形ADC-S_△ADC=

1

2

πx²-

1

2

×

2

x×

2

x=

1

2

x²（π-2），
S_月形AECF=

1

2

πx²-

1

2

x²（π-2）=x²，
∴S_月形AECF≠2S_弓形AFCA，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③∵S_弓形AFCA=S_弓形CHBC=

1

2

x²（π-2），
∴S_弓形AFCA+S_弓形CHBC=（π-2）x²，
S_△ABC=

1

2

×2x×2x=2x²，
∴S_弓形AFCA+S_弓形CHBC≠

1

2

S_△ABC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④∵S_月形AECF=S_月形BGCH=x²，
∴S_月形AECF+S_月形BGCH=2x²，S_△ABC=

1

2

×2x×2x=2x²，
∴S_月形AECF+S_月形BGCH=S_△ABC，故此選項(xiàng)正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及圓面積公式和三角形面積求法，根據(jù)題意求出特殊圖形面積進(jìn)而得出一般圖形面積是解題關(guān)鍵．