Question

2．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$分別交x軸，y軸于點(diǎn)A、B，OC⊥AB于點(diǎn)C，D是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BD→DO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)； 同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DO→OA方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)O點(diǎn)時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）線段OD的長(zhǎng)為2，線段OC的長(zhǎng)為$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)△DPQ的面積為S，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在DO上，點(diǎn)Q在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與OC交于點(diǎn)E，當(dāng)△OPE為等腰三角形時(shí)，直接寫出相應(yīng)的t值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$分別交x軸，y軸于點(diǎn)A、B，求出A與B點(diǎn)的坐標(biāo)，得出AB的值，再根據(jù)D是AB的中點(diǎn)，即可求出OD的值；（2）過Q作QE⊥AB于E，可得QE∥OC，再由平行線分線段成比例定理，得到比例式$\frac{QE}{OC}=\frac{DQ}{DO}$，利用比例式將線段QE用含t的代數(shù)式表示，再根據(jù)S_△DPQ=$\frac{1}{2}$DP•QE，即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使△OPE為等腰三角形，需分情況討論：當(dāng)PE=OE時(shí)，可得PQ∥OB，得出t-2=$\frac{1}{2}$（4-t），求出t的值；當(dāng)OP=OE時(shí)，根據(jù)∠COD=30°，求出∠PQO=45°，過P作PF⊥OA，得出PF=QF，根據(jù)PF=cos30°×OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），QF=t-2-$\frac{1}{2}$（4-t），得出t-2-$\frac{1}{2}$（4-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），求出t的值；當(dāng)PO=PE時(shí)，得∠POE=∠PEO=30°，得出PE∥OA，此時(shí)△POE不存在，從而求出△OPE為等腰三角形時(shí)，t的值．

解答 解：（1）∵直線y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$分別交x軸，y軸于點(diǎn)A、B，
∴令x=0得，y=2$\sqrt{3}$，令y=0得，-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$=0，解得，x=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，2$\sqrt{3}$），點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（2，0），
∴線段OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴OD是直角三角形AOB的斜邊上的中線，
∴OD=2；
∵Rt△AOB，OC⊥AB，
∴AB•OC=AO•BO，
4OC=2$\sqrt{3}$×2，
∴OC=$\sqrt{3}$；
（2）過Q作QE⊥AB于E，如圖1
∵OC⊥AB于點(diǎn)C，
∴QE∥OC，∴$\frac{QE}{OC}=\frac{DQ}{DO}$，
∵動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)沿折線BD→DO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，
動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DO→OA方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)，
∴DP=BD-BP=2-t，DQ=t，
∵OC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{QE}{\sqrt{3}}=\frac{t}{2}$，
∴QE=$\frac{\sqrt{3}t}{2}$，
∴S_△DPQ=$\frac{1}{2}$DP•QE=$\frac{1}{2}$（2-t）•$\frac{\sqrt{3}t}{2}$=-$\frac{{\sqrt{3}t}^{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}t}{2}$（0＜t≤2）．
（3）∵OD=0A=AD=2，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=∠ADO=∠OAD=60°，
∴∠BOD=∠OBD=30°，
∵OC⊥AB于點(diǎn)C，
∴∠POE=30°，
①當(dāng)PE=OE時(shí)，∠POE=∠OPE=30°
∴∠BOD=∠OPE，
∴PQ∥OB，
∴PQ⊥x軸，
∴OQ=$\frac{1}{2}$OP，即t-2=$\frac{1}{2}$（4-t），
∴t=$\frac{8}{3}$，
②當(dāng)OP=OE時(shí)，∠OPE=∠OEP，
∵∠COD=30°，
∴∠OPQ=75°，
∴∠PQO=45°，
過P作PF⊥OA，
∴PF=QF，∠OPF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$（4-t），
∵PF=cos30°×OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
QF=t-2-$\frac{1}{2}$（4-t），
∴t-2-$\frac{1}{2}$（4-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
∴t=$\frac{2\sqrt{3}+6}{3}$，
③當(dāng)PO=PE時(shí)，得∠POE=∠PEO=30°，
則PE∥OA，
此時(shí)△POE不存在，
所以此情況不成立，
綜上當(dāng)t=$\frac{8}{3}$或t=$\frac{2\sqrt{3}+6}{3}$時(shí)，△OPE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，平行線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，利用三角形的面積列函數(shù)關(guān)系式，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想及綜合運(yùn)用所學(xué)是解題的關(guān)鍵．