Question

如圖， 已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)， △DMN也隨之整體移動(dòng)） 。

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請(qǐng)利用圖②證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立?請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由。

 

Answer 1

（1）判斷：EN與MF相等 （或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上，  

（2）成立。

證明：

法一：連結(jié)DE，DF。  

∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC。

又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，

∴DE，DF，EF為三角形的中位線�！郉E=DF=EF，∠FDE=60°。

又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE。

在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，

∴△DMF≌△DNE。

∴MF=NE。      

法二：

延長EN，則EN過點(diǎn)F。   

∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC。

又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)， ∴EF=DF=BF。

∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN。

又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，

∴△DBM≌△DFN。

∴BM=FN。

∵BF=EF，  ∴MF=EN。

法三：

連結(jié)DF，NF。

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC=AC。

又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，

∴DF為三角形的中位線，∴DF=AC=AB=DB。

又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN。 

在△DBM和△DFN中，DF=DB，

DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN。

∴∠B=∠DFN=60°。

又∵△DEF是△ABC各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，

∴∠DFE=60°。

∴可得點(diǎn)N在EF上，

∴MF=EN。         

（3）畫出圖形（連出線段NE），

MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）。