Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6

3

，AF=4

3

，求sinB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠ADF=∠CED和∠AFD=DCE，即可證明△ADF∽△DEC；
（2）根據(jù)平行四邊形對邊相等可求得CD的長，根據(jù)△ADF∽△DEC可得

AF

CD

=

AD

DE

，即可求得DE的長，根據(jù)勾股定理可以求得AE的長，即可解題．

解答：（1）證明：∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，
∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=DCE，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD=AB，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AF

CD

=

AD

DE

，即

4 3

8

=

6 3

DE

，
∴DE=12，
∵在RT△ADE中，AE²=DE²-AD²，
∴AE=6，
∴sinB=

AE

AB

=

6

8

=

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，本題中求證△ADF∽△DEC是解題的關(guān)鍵．