Question

已知：平行四邊形ABCD中，AC和BD交于O，EF過O點交AD于E，交BC于F，HG過O點交AB于H，交CD于G。如果EF平分∠AOD，HG平分∠AOB。

求證：EHFG為菱形

 

 

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】本題考查的是平行四邊形的性質、角平分線的性質、菱形的判定

根據EF平分∠AOD，HG平分∠AOB可得，，由平角的定義可得即HG⊥EF，再根據平行四邊形的對角線互相平分可得OA=OC，BO=OD，根據平行四邊形的對邊平行可得∠DAO=∠BCO，∠ABO=∠ODC，即可證得△AOE≌△OCF，△BHO≌△ODG，從而得到OE=OF，OH=OG，先根據對角線互相平分證得四邊形EHFG為平行四邊形，再由對角線HG⊥EF即可證得菱形。

∵OE平分∠AOD    ∴

∵OH平分∠AOB      ∴

∵∠AOD+∠AOB=180°

∴即HG⊥EF。

∵ABCD為平行四邊形  ∴OA=OC   BO=OD

AD∥BC   AB∥CD

∴∠DAO=∠BCO    ∠ABO=∠ODC

∴△AOE≌△OCF，△BHO≌△ODG

∴OE=OF   OH=OG

    ∴HFGE為菱形。