Question

如圖，銳角三角形ABC的兩條高BE、CD相交于點O，且OB=OC
（1）求證：AB=AC； 
（2）求證：點O在∠BAC的平分線上．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先根據(jù)條件可以得出∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°就可以得出△BCD≌△CBE，則∠DBC=∠ECB，故AB=AC．
（2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)得到：BD=CE，就可以得出OE=OD，再證明△ODA≌△OEA就可以得出∠DAO=∠EAO而得出結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接AO．
（1）∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ECB．
在△BCD和△CBE中，

∠BEC=∠CDB ∠BCE=∠DBC BC=CB

，
∴△BCD≌△CBE（AAS），
∴∠DBC=∠ECB，
故AB=AC．

（2）∵由（1）知，△BCD≌△CBE，
∴BD=CE．
∵OB=OC，
∴BD-OB=EC-OC
∴OD=OE．
在Rt△ODA和Rt△OEA中，

AO=AO OD=OE

，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，
∴OA平分∠BAC．

點評：本題考查了垂直的性質(zhì)的運用，AAS，HL證明三角形全等的運用，等式的性質(zhì)的運用，角平分線的判定的運用，解答時證明三角形是關(guān)鍵．