Question

請在（1）和（2）兩道題中自選一道題解答．

（1）如圖1，在△ABC中，點D是BC邊上的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求證：△ABC為等腰三角形．
（2）已知：如圖2，在△ABC中，∠B=∠ACB=∠BAC，CD是AB邊上的高，CD=5．求BC邊上的長．

Answer 1

請在（1）和（2）兩道題中自選一道題解答．
（1）解：∵點D是BC邊上的中點，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC等腰三角形；

（2）解：∵∠B=∠ACB=∠BAC，
∴設∠B=x，則∠BAC=4x，
在△ABC中，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴x+x+4x=180°，
解得x=30，
即∠B=30°，
∵CD是AB邊上的高，CD=5，
∴BC=10．
分析：（1）由于DE⊥AB，DF⊥AC，那么∠DEB=∠DFC=90°，根據(jù)D是BC中點可得BD=CD，而BE=CF，根據(jù)HL可證Rt△BED≌Rt△CFD，于是∠B=∠C，進而可證△ABC等腰三角形；
（2）先設∠B=x，則∠BAC=4x，利用三角形內(nèi)角和定理可得x+x+4x=180°，解得x=30°，在Rt△BCD中，利用30°的角所對的邊等于斜邊的一半可求BC=2CD=10．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是證明Rt△BED≌Rt△CFD，以及求出∠B．