Question

11．【探究】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°CD是AB邊上的中線，DE⊥BC于E．P是線段CB上一點，連結(jié)DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連結(jié)BF，請猜想BC、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【推廣】若圖中∠A的度數(shù)為α（0°＜α＜90°），點P在射線CB上（不與B、C重合），連結(jié)DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)2α，得到線段DF，連結(jié)BF，直接寫出BC、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 【探究】求出DC=DB，∠CDB=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠PDF=60°，DP=DF，求出∠CDP=∠BDF，根據(jù)SAS推出△DCP≌△DBF，根據(jù)全等的性質(zhì)求出CP=BF，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
【推廣】當P在線段BC上時，BF+BP=BC，當P在BC延長線上時，BF-BP=BC，①如圖1，求出DC=DB=AD，DE∥AC，推出∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，根據(jù)全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根據(jù)全等的性質(zhì)得出CP=BF，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；②如圖2，求出DC=DB=AD，DE∥AC，求出∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，DP=DF，根據(jù)全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP=BF，根據(jù)線段的和差即可得到即可．

解答 解：【探究】DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系是BF+BP=BC，
理由如下：
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，∠A=30°
∴DC=DB，∠CDB=60°．
∵線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF．
又∵∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC；

【推廣】當P在線段BC上時，BF+BP=BC，當P在BC延長線上時，BF-BP=BC，
理由是：①如圖1，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點，DE⊥BC，∠A=α，
∴DC=DB=AD，DE∥AC，
∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，
∵∠PDF=2α，
∴∠FDB=∠CDP=2α-∠PDB，
∵線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DF，
∴DP=DF，
在△DCP和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
②當P在BC延長線上時，BF-BP=BC，
如圖2，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點，DE⊥BC，∠A=α，
∴DC=DB=AD，DE∥AC，
∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，
∵∠PDF=2α，
∴∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，
∵線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DF，
∴DP=DF，
在△DCP和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC．

點評 本題考查了三角形外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應用，能推出△DCP≌△DBF是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強，證明過程類似．