Question

1．如圖，四邊形ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，AC=10，BC=6，∠ADB=∠ABD=∠ACB=30°，那么線段CD的長(zhǎng)為10$\sqrt{3}$-6．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到∠ADB=∠ABD=∠ACB=30°，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB=∠CDB，延長(zhǎng)CB到E，使BE=CD，連接AE，由∠ABE=∠ACB+∠CAB，∠ADC=∠CDB+∠ADB，求得∠ABE=∠ADC，即可證明△ADC≌△ABE，可得AC=AE=10，即可求證△ACE是等腰三角形，作AF⊥CE于F，則CF=EF，根據(jù)sin∠ACB的值可以求得AF的長(zhǎng)，即可求得CF，BE的長(zhǎng)，即可求得CD的長(zhǎng)，即可解題．

解答 解：∵∠ADB=∠ABD=∠ACB=30°，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，AD=AB，
∴∠CAB=∠CDB，
延長(zhǎng)CB到E，使BE=CD，連接AE，
∵∠ABE=∠ACB+∠CAB，∠ADC=∠CDB+∠ADB，
∴∠ABE=∠ADC，
∵在△ADC和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADC=∠ABE}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴AC=AE=10，
∴△ACE是等腰三角形，
作AF⊥CE于F，則CF=EF，
∵∠ACB=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=5，EF=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=5$\sqrt{3}$，
∴CE=10$\sqrt{3}$，
∴CD=BE=CE-CB=10$\sqrt{3}$-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，解直角三角形，求證△ADC≌△ABE是解題的關(guān)鍵．