Question

7．已知：如圖，線段AB=8，以A為圓心，5為半徑作圓A，點C在⊙A上，過點C作CD∥AB交⊙A于點D（點D在C右側），聯結BC、AD．
（1）若CD=6，求四邊形ABC的面積；
（2）設CD=x，BC=y，求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（3）設BC的中點為M，AD的中點為N，線段MN交⊙A于點E，聯結CE，當CD取何值時，CE∥AD．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥CD于H，如圖，根據垂徑定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，再利用勾股定理計算出AH=4，然后根據梯形的面積公式求解；
（2）作CP⊥AB于P，如圖1，根據垂徑定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$x，易得AP=CH=$\frac{1}{2}$x，則BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，在Rt△PAC中利用勾股定理得到CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，在Rt△BPC中根據勾股定理得到y(tǒng)²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，然后利用算術平方根定義即可得到y(tǒng)與x的關系；
（3）設AH交MN于點F，連結AE，如圖2，易得MN為梯形ABCD的中位線，則MN∥CD，當CE∥AD，則可判斷四邊形CEND為平行四邊形，得到DC=NE=x，再證明FN為△AHD的中位線得到FN=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{4}$x，所以EF=$\frac{3}{4}$x，根據勾股定理得到AF²=AE²-EF²，AF²=AN²-NF²，則AE²-EF²=AN²-NF²，即5²-（$\frac{3}{4}$x）²=（$\frac{5}{2}$）²-（$\frac{1}{4}$x）²，然后解方程即可．

解答 解：（1）作AH⊥CD于H，如圖，則CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
在Rt△AHD中，∵AD=5，DH=3，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=4，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（CD+AB）•AH=$\frac{1}{2}$×（6+8）×4=28；
（2）作CP⊥AB于P，如圖1，
∵AH⊥CD，CD=x
∴CH=DH=$\frac{1}{2}$x，
∴AP=CH=$\frac{1}{2}$x，
∴BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，
在Rt△PAC中，∵AC²=AP²+CP²，
∴CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，
在Rt△BPC中，∵BC²=BP²+CP²，
∴y²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，
∴y=$\sqrt{89-8x}$（0＜x＜10）；
（3）設AH交MN于點F，連結AE，如圖2，
∵CD∥AB，CD≠AB，
∴四邊形ABCD為梯形，
∵BC的中點為M，AD的中點為N，
∴MN為梯形ABCD的中位線，
∴MN∥CD，
∵CE∥AD，
∴四邊形CEND為平行四邊形，
∴DC=NE=x，
∵FN∥CD，N點為AD的中點，
∴FN為△AHD的中位線，
∴FN=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{4}$x，
∴EF=x-$\frac{1}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，
在Rt△AEF中，AF²=AE²-EF²，
在Rt△AFN中，AF²=AN²-NF²，
∴AE²-EF²=AN²-NF²，即5²-（$\frac{3}{4}$x）²=（$\frac{5}{2}$）²-（$\frac{1}{4}$x）²，解得x=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．
即當CD為$\frac{5\sqrt{6}}{2}$時，CE∥AD．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、梯形的性質和平行四邊形的判定與性質；會運用三角形中位線和梯形中位線性質得到有關線段的數量關系和位置關系；會運用勾股定理進行幾何計算．